1. 선형대수학

📘 선형대수학 (Linear Algebra)

• 선형대수학은 벡터(Vector), 행렬(Matrix), 그리고 선형 방정식 시스템을 다루는 수학 분야입니다.
• 컴퓨터 과학, 데이터 과학, 물리학, 기계학습 등 다양한 분야에서 핵심 역할을 합니다.

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🔹 1차 방정식(선형 방정식)만을 다룸

• 선형대수는 1차 방정식(선형 방정식) 을 중심으로 합니다.
  예를 들어, 아래는 두 미지수 $x,y$ 에 대한 선형 방정식 시스템입니다

  $2x+3y=5$
  $x-y=1$

• 이러한 선형 방정식들은 그래프 상에서 직선(line) 으로 표현되며,
  여러 방정식을 동시에 만족하는 해는 이 직선들의 교점으로 나타납니다.

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🔹 선형적인 구조를 이해하고, 이를 수치나 기하적으로 처리하는 수단 제공

• 선형대수는 “선형적인 구조(직선적 관계)“를 이해하기 위한 학문입니다.
• 이 구조를 수학적으로 다루기 위해 벡터와 행렬이라는 도구를 사용합니다.
• 수치적인 계산뿐 아니라 기하학적인 시각화(방향, 평면, 공간 변환) 을 가능하게 합니다.

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🔹 복잡한 문제를 행렬과 벡터로 표현해서, 컴퓨터가 계산할 수 있게 바꿔주는 언어 역할

• 여러 개의 방정식을 다음처럼 행렬 형태로 표현할 수 있습니다

  $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

• 예를 들어, 다음과 같은 두 개의 1차 방정식을 생각해봅시다:

  $x+2y=5$
  $3x+4y=6$
  이 두 식은 각각 $x$, $y$에 대한 선형 방정식 (linear equation)이고, 동시에 만족하는 $(x,y)$ 값을 찾는 것이 목적입니다.

• 이 연립방정식을 행렬 곱의 형태로 바꿀 수 있습니다:

  $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

• 각 항목은 다음과 같습니다:

  $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\text{(계수 행렬)}$

  $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\text{(미지수 벡터)}$

  $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]\text{(상수 벡터)}$

• 즉, 전체 행렬 곱 형태는 이렇게 됩니다:

  $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]$

• 이 행렬 곱은 실제로 다음과 같은 연산을 의미합니다:

  $\begin{array}{rl}1\cdot x+2\cdot y& =5\\ 3\cdot x+4\cdot y& =6\end{array}$

• 즉, 원래의 연립방정식과 정확히 일치합니다.

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• 💡 이렇게 행렬을 사용하면 더 많은 변수와 방정식이 있는 시스템도 간결하게 표현할 수 있고,
  컴퓨터로 계산할 때도 효율적으로 다룰 수 있습니다.
• 선형대수는 복잡한 연립방정식, 데이터 분석, 이미지 처리, 인공지능 등의 기초 언어로 사용됩니다.

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📌 요약

• 선형대수는 세상의 다양한 문제를 벡터와 행렬을 통해 단순하고 구조적으로 표현하고,
• 이를 통해 빠르고 정확한 계산과 기하학적 이해를 가능하게 해주는 수학입니다.